Analysis Beispiele

$lim_{r \to 4} (\frac{2}{r} + \frac{1}{2}) (r^{2} - \frac{4}{r})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $4$ annähert.

$lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + \frac{1}{2} \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $4$ annähert.

$(lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$(2 lim_{r \to 4} \frac{1}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $4$ annähert.

$(2 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $r$ sich $4$ annähert.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $r$ sich $4$ annähert.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $4$ annähert.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot (lim_{r \to 4} r^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $r^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Schritt 9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 lim_{r \to 4} \frac{1}{r})$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $4$ annähert.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r})$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $r$ sich $4$ annähert.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $r$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $4$ für $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $4$ für $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $4$ für $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(2 \frac{1}{2 (2)} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$ mit $1$ .

$4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$

Schritt 13.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.6.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 - 4 (\frac{1}{4})$

Schritt 13.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$16 + 4 (- 1) \frac{1}{4}$

Schritt 13.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4}$

Schritt 13.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 - 1$

Schritt 13.7

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$15$