Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} + x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + 0)$

Schritt 1.2.5

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) (2 x + 1)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$ um.

$(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$

Schritt 1.3.4

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.8

Mutltipliziere $2 x^{2}$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.9

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.5.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 2$

Schritt 1.3.6

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 2 x + 2$

Schritt 1.3.7

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $12 x^{2} + 12 x + 6$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x + 6$