Analysis Beispiele

$m (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$m (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Schritt 6

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 7

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 7.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 2}{2 (0.5)}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 2}{2 (0.5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $- \frac{- 2}{2 (0.5)}$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 0.5}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0.5$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (0.5)}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 0.5}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 1}{0.5}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.2.1

Dividiere $- 1$ durch $0.5$ .

$x = - - 2$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x = 2$

Schritt 8

Berechne $f (2)$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - 2 \cdot 2 + 2$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Schreibe $- 2 \cdot 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{1} + 2$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 \cdot 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 2 \cdot 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + 2$

Schritt 8.2.1.4

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$m (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 8 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 8 + 4}{2}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.4.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$m (2) = \frac{- 4 + 4}{2}$

Schritt 8.2.4.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$m (2) = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.4.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$m (2) = 0$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 9

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(2, 0)$

Schritt 10