Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.12

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{1}{5}}$ heraus.

$\frac{2 (2)}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 6})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 x^{- 6}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{15}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$