Analysis Beispiele

$\int (\frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6} - 5 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{5} - 5 x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}{x^{2}} d x$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ heraus.

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

Schritt 3

Dividiere $x^{5} - 5$ durch $x$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{5} + 0$

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Schritt 3.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{4} - \frac{5}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{4} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - \int \frac{5}{x} d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{5} x^{5} - 5 \ln (| x |) + C$