Analysis Beispiele

$y = \arccos (x^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (x^{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} (2 x)$

Schritt 3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Schritt 3.2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Schritt 3.2.3.3

Kombiniere $\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

Schritt 3.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$