Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{a^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{a^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{1}{a^{2}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{a^{2}} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{2}{a^{2}} (x x') + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{a^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{a^{2}} x' + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{x \cdot 2}{a^{2}}$ und $x'$ .

$\frac{x \cdot 2 x'}{a^{2}} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{b^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{b^{2}}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - 2 \frac{1}{b^{2}} y$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{- 2}{b^{2}} y$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{b^{2}}$ und $y$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{- 2 y}{b^{2}}$

Schritt 2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $\frac{2 y}{b^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} = \frac{2 y}{b^{2}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $a^{2}$ .

$\frac{2 x x'}{a^{2}} a^{2} = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x'}{a^{2}} a^{2} = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x x' = \frac{2 y}{b^{2}} a^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{2 y}{b^{2}}$ und $a^{2}$ .

$2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$ durch $2 x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{\frac{2 y a^{2}}{b^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x' = \frac{2 y a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 5.4.3.2

Kombinieren.

$x' = \frac{2 y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (2 x)}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (2 x)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{y a^{2} \cdot 1}{b^{2} (x)}$

Schritt 5.4.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x' = \frac{a^{2} y}{b^{2} x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{a^{2} y}{b^{2} x}$