Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \frac{1}{x} \ln (x)$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ und $x^{\frac{1}{x}}$ .

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{\frac{1}{x}}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}}{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$ durch $1$ .

$y' = (1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 1 x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{x} - 2}$ mit $1$ .

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$ um.

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - x^{\frac{1}{x} - 2} \ln (x)$