Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 16$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 16$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (16) + f' (16) (x - 16)$

Schritt 3

Berechne $f (16)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $16$ .

$f (16) = \sqrt{16}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt{16}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$(\sqrt{16})$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$\sqrt{16}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $16$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 4.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $16$ .

$\frac{1}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 + 2}}$

Schritt 4.3.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 4 + \frac{1}{8} (x - 16)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 4 + \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 16$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 16$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$L (x) = 4 + \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 2))$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L (x) = 4 + \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Schritt 6.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$L (x) = 4 + \frac{x}{8} - 2$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$L (x) = \frac{x}{8} + 2$

Schritt 7