Analysis Beispiele

$- \frac{x^{3}}{7 \cos (x)}$

Schritt 1

Da $- \frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{3}}{7 \cos (x)}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{\cos (x)}]$ .

$- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{\cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{\cos (x) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{\cos (x) (3 x^{2}) - x^{3} (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{\cos (x) (3 x^{2}) + 1 x^{3} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{\cos (x) (3 x^{2}) + x^{3} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) (3 x^{2}) + x^{3} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{\cos (x) (3 x^{2}) + x^{3} \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 7}$

Schritt 5.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x) (3 x^{2}) + x^{3} \sin (x)}{7 \cdot \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{3 \cos (x) x^{2} + x^{3} \sin (x)}{7 \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.1.2

Stelle die Faktoren in $3 \cos (x) x^{2} + x^{3} \sin (x)$ um.

$- \frac{3 x^{2} \cos (x) + x^{3} \sin (x)}{7 \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} \cos (x) + x^{3} \sin (x)$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} \cos (x)$ heraus.

$- \frac{x^{2} (3 \cos (x)) + x^{3} \sin (x)}{7 \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \sin (x)$ heraus.

$- \frac{x^{2} (3 \cos (x)) + x^{2} (x \sin (x))}{7 \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 \cos (x)) + x^{2} (x \sin (x))$ heraus.

$- \frac{x^{2} (3 \cos (x) + x \sin (x))}{7 \cos^{2} (x)}$