Analysis Beispiele

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (4 t)$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (4 t)$ .

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 4 t$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4

Differenziere.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4 t}$ und $2$ .

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{4 t}$ und $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (4 t)$ heraus.

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 t$ heraus.

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.3

Kombiniere $\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ und $t$ .

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{\ln (4 t)}{2}$ .

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (4 t)$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4.2.2.4

Dividiere $2 \ln (4 t)$ durch $1$ .

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

Schritt 4.4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.8.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (4 t)$ mit $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

Schritt 4.4.8.2

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$