Analysis Beispiele

$y = \sin (θ + \tan (θ + \cos (θ)))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))]$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \tan (θ)$ und $g (θ) = θ + \cos (θ)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $θ + \cos (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $θ + \cos (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ + \cos (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (1 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (1 - \sin (θ)))$