Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} x^{3}, x \leq 2 \\ a x^{2}, x > 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $a x^{2}$ , wenn sich $x$ von rechts $2$ nähert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{+}} a x^{2}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Ziehe den Term $a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$a lim_{x \to 2^{+}} x^{2}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$a {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$a \cdot 2^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a \cdot 4$

Schritt 1.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a$

Schritt 2

Berechne $x^{3}$ bei $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8$

Schritt 3

Da die Grenze von $a x^{2}$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von rechts nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ nicht stetig.

Nicht stetig

Schritt 4