Analysis Beispiele

$y = {(x^{5} - 2 x)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{5} - 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{5} - 2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5} - 2 x$ .

$2 (x^{5} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{5} - 2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{5} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 (x^{5} - 2 x) (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{5} - 2 x) (5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{5} - 2 x) (5 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (x^{5} - 2 x) (5 x^{4} - 2)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{5} + 2 (- 2 x)) (5 x^{4} - 2)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x^{5} - 4 x) (5 x^{4} - 2)$

Schritt 3.3

Multipliziere $(2 x^{5} - 4 x) (5 x^{4} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{5} (5 x^{4} - 2) - 4 x (5 x^{4} - 2)$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{5} (5 x^{4}) + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4} - 2)$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{5} (5 x^{4}) + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 5 x^{5} x^{4} + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$2 \cdot 5 (x^{4} x^{5}) + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 5 x^{4 + 5} + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.2.3

Addiere $4$ und $5$ .

$2 \cdot 5 x^{9} + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x^{9} + 2 x^{5} \cdot - 2 - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 x (5 x^{4}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 \cdot 5 x \cdot x^{4} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.6.1

Bewege $x^{4}$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 \cdot 5 (x^{4} x) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.6.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 \cdot 5 (x^{4} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 \cdot 5 x^{4 + 1} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.6.3

Addiere $4$ und $1$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 4 \cdot 5 x^{5} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 20 x^{5} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 3.4.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$10 x^{9} - 4 x^{5} - 20 x^{5} + 8 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $20 x^{5}$ von $- 4 x^{5}$ .

$10 x^{9} - 24 x^{5} + 8 x$