Analysis Beispiele

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Schritt 3

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Schritt 3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Schritt 3.4

Multipliziere $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\sqrt{y}$ und $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{y}}{3}$ und $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sqrt{y}$ heraus.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 9]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

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Schritt 4.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y \geq 0$

Schritt 4.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Schritt 4.2

$f (y)$ ist stetig im Intervall $[1, 9]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Überprüfe, ob $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ differenzierbar ist.

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Schritt 5.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.2

Multipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 5.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

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Schritt 5.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5.1.1.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 5.1.1.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.1.3.10

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2

Die erste Ableitung von $f (y)$ nach $y$ ist $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[1, 9]$ stetig ist.

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Schritt 5.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 9]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Schritt 5.2.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{y}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y \geq 0$

Schritt 5.2.1.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{y} = 0$

Schritt 5.2.1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.4.2.2.1

Vereinfache ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 y = 0^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 y = 0$

Schritt 5.2.1.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.1.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.1.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.1.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y = 0$

Schritt 5.2.1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y > 0}$

Schritt 5.2.2

$f' (y)$ ist stetig im Intervall $[1, 9]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5.3

Die Funktion ist im Intervall $[1, 9]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[1, 9]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[1, 9]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[1, 9]$ stetig.

Schritt 7

Ermittele die Ableitung von $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

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Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.2

Multipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.12

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Schritt 7.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

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Schritt 7.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 7.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 7.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 7.3.10

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Schritt 9