Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}{x}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 {(x + 2)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{{(x + 2)}^{2} \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{{(x + 2)}^{2} \cdot 4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + 2)}^{2} \cdot 4$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 {(x + 2)}^{2}} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}}{x}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 - {(x + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 2)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - {(lim_{x \to 0} x + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - {(lim_{x \to 0} x + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - {(0 + 2)}^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - 2^{2}}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} {(x + 2)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 2)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x + 2)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x + 2)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(0 + 2)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(0 + 2)}^{2} \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.6.1

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{2^{2} \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.6.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{4 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{4 - {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - {(x + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - {(x + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x + 2) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x (x + 2) + 2 (x + 2))]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - (x^{2} + 4 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - (x^{2} + 4 x + 4)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 4 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 4 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} + 4 x + 4)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + 4 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + 4 + 0)}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.7.8

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 x + 4)}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.8.2.3

Subtrahiere $- (- 2 x - 4)$ von $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} x]}$

Schritt 3.3.9

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) x]}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x (x + 2) + 2 (x + 2)) x]}$

Schritt 3.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) x]}$

Schritt 3.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) x]}$

Schritt 3.3.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) x]}$

Schritt 3.3.11.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) x]}$

Schritt 3.3.11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) x]}$

Schritt 3.3.11.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 4 x + 4) x]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{(x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $x^{2} + 4 x + 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Schritt 3.3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])}$

Schritt 3.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])}$

Schritt 3.3.17

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}$

Schritt 3.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}$

Schritt 3.3.19

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4])}$

Schritt 3.3.20

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + 4 + 0)}$

Schritt 3.3.21

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x + 4)}$

Schritt 3.3.22

Vereinfache.

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Schritt 3.3.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + x \cdot 2 x + x \cdot 4}$

Schritt 3.3.22.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.22.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1} x + x \cdot 4}$

Schritt 3.3.22.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1} x^{1} + x \cdot 4}$

Schritt 3.3.22.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1 + 1} + x \cdot 4}$

Schritt 3.3.22.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + x \cdot 4}$

Schritt 3.3.22.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + 4 \cdot x}$

Schritt 3.3.22.2.6

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{3 x^{2} + 4 x + 4 + 4 x}$

Schritt 3.3.22.2.7

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x - 4}{3 x^{2} + 8 x + 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 8 x + 4}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 8 x + 4}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 8 x + 4}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 8 x + 4}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 4.8

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 4.9

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 0} x + 4}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 0} x + 4}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 0^{2} + 8 lim_{x \to 0} x + 4}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 4}{3 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{0 + 8 \cdot 0 + 4}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{0 + 0 + 4}$

Schritt 6.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{0 + 4}$

Schritt 6.2.5

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{4}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{4}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$