Analysis Beispiele

${(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{2})] + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) (2 x)) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2}) x) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x \cdot x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1} x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Schritt 8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereine die Terme

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Schritt 9.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Schritt 9.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$ um.

$- (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x)) \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$