Analysis Beispiele

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = - 1$ und $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 2 x + y$ und $g (y) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $x + 2 y$ mit $1$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.7

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

Schritt 3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ mit $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Schritt 3.14.2

Addiere $- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ .

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $x - 2 (2 x)$ und $0$ .

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$