Analysis Beispiele

$y = \ln^{2} (x)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = \ln^{2} (x)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{2} (x))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$\frac{2}{x} \ln (x)$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 4.4

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$