Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \arctan (\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}})$

Schritt 1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 + 0}}$

Schritt 1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Ersetze $t$ für $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}}$ und lasse $t$ sich $\frac{\sqrt{3}}{3}$ nähern solange $lim_{x \to 0} \frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$lim_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}} \arctan (t)$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{3}$ für alle $t$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3 + 0}})$

Schritt 3.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Schritt 3.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 3.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 3.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Schritt 3.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{6}$

Dezimalform:

$0.52359877 \dots$