Analysis Beispiele

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x^{2} + 3$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x^{2} + 3$ .

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

Schritt 1.2.12.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

Schritt 1.3.4.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

Schritt 1.3.4.9

Addiere $10 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x^{2} - 10 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x^{2}$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$60 x - 10 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $60 x - 10$ und $0$ .

$f'' (x) = 60 x - 10$