Analysis Beispiele

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (x + 3) \frac{| x + 2 |}{x + 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 3 \cdot lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{| x + 2 |}{x + 2}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 3) \cdot lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{| x + 2 |}{x + 2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 3) \cdot lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{| x + 2 |}{x + 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$(- 2 + 3) \cdot lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{| x + 2 |}{x + 2}$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\frac{| x + 2 |}{x + 2}$ zeigt, wenn sich $x$ von links $- 2$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \frac{| x + 2 |}{x + 2} \\ - 2.1 & - 1 \\ - 2.01 & - 1 \\ - 2.001 & - 1 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $- 2$ nähern sich die Funktionswerte $- 1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\frac{| x + 2 |}{x + 2}$ für $x$ gegen $- 2$ gleich $- 1$ .

$(- 2 + 3) \cdot - 1$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 \cdot - 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$