Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{3} \sqrt{2 x^{2} + 6 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x^{2} + 6 x}$ als ${(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x^{2} + 6 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{{(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 9

Bringe ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (1)}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 15

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 18

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \cdot 1)$

Schritt 20

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$ um.

$(4 x + 6) \frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Mutltipliziere $4 x + 6$ mit $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 6$ heraus.

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Schritt 21.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$