Analysis Beispiele

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $y''$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y'' = 3 (2 x)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y'' = 6 x$

Schritt 3

Ermittle $y'''$ .

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Schritt 3.1

Bestimme die Ableitung.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y''' = 6 \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y''' = 6$

Schritt 4

Ermittle $y''''$ .

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Schritt 4.1

Bestimme die Ableitung.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 4.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y'''' = 0$

Schritt 5

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

Schritt 6.2.5

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$0 = 3 x^{2}$

Schritt 7

Die gegebene Lösung erfüllt nicht die gegebene Differentialgleichung.

$y = x^{3}$ ist keine Lösung von $y'''' = \frac{3 y}{x}$