Analysis Beispiele

$\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 10.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$