Analysis Beispiele

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - y$ und $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.1.1

Multipliziere $(x + y) (1 - y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.3

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 3.7.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.4

Multipliziere $(- x + y) (1 + y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

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Schritt 3.7.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.2

Addiere $- x y' + y - y y'$ und $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.3

Addiere $- y y'$ und $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.4

Addiere $- x y' + y - x y' + y$ und $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.3

Subtrahiere $x y'$ von $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.4

Addiere $y$ und $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y' + 2 y$ heraus.

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Schritt 3.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x y') + 2 (y)$ heraus.

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y'$ heraus.

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y') - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.7

Schreibe $- (x y' - y)$ als $- 1 (x y' - y)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ in den Zähler.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

Schritt 5.2.1.3.2

Bewege $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1.1

Addiere $2 y' x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 5.3.1.2.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.2.5.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.5.1.1

Bewege $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.2.5.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.5.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.5.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' x^{2}$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $6 y^{3} y' x$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{4} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' x$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Schritt 5.3.2.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Schritt 5.3.2.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ durch $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ durch $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$