Analysis Beispiele

$\int \sqrt[3]{t} (5 t^{2} - 3 t + 2) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 5 t^{2} - 3 t + 2$ und $d v = \sqrt[3]{t}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) (\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} (10 t - 3) d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $t^{\frac{4}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} (10 t - 3) d t$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $t^{\frac{4}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} (10 t - 3) d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} (10 t) + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} \cdot - 3 d t$

Schritt 3.2

Stelle $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ und $10$ um.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int 10 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} t + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} \cdot - 3 d t$

Schritt 3.3

Stelle $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ und $- 3$ um.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int 10 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} t - 3 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.4

Kombiniere $10$ und $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{10 (3 t^{\frac{4}{3}})}{4} t - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3}}}{4} t - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{30 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ und $t$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3}} t}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 (t^{\frac{4}{3}} t^{1})}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3} + 1}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4 + 3}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.11

Addiere $4$ und $3$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 3.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{- 3 (3 t^{\frac{4}{3}})}{4} d t$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $30 t^{\frac{7}{3}}$ heraus.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{2 (2)} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{2 \cdot 2} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} d t + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

Schritt 6

Da $\frac{15}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{15}{2}$ aus dem Integral.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} \int t^{\frac{7}{3}} d t + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{7}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C) + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{3}{10}$ und $t^{\frac{10}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \int \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

Schritt 10

Da $\frac{9}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{9}{4}$ aus dem Integral.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - (\frac{9}{4} \int t^{\frac{4}{3}} d t))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{4}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \frac{9}{4} (\frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}} + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $t^{\frac{7}{3}}$ .

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \frac{9}{4} (\frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{t^{\frac{10}{3}} \cdot 15}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Bringe $15$ auf die linke Seite von $t^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{15 \cdot t^{\frac{10}{3}}}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10}$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15 (3 t^{\frac{10}{3}})}{2 \cdot 10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{45 t^{\frac{10}{3}}}{2 \cdot 10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{45 t^{\frac{10}{3}}}{20} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.6

Faktorisiere $5$ aus $45 t^{\frac{10}{3}}$ heraus.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{20} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.7.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{5 (4)} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{5 \cdot 4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

Schritt 12.3.8

Mutltipliziere $\frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{3 t^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{7 \cdot 4}) + C$

Schritt 12.3.9

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4}) + C$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Schritt 12.3.11

Um $- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} + \frac{- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot 4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

Schritt 12.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot 4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}} - 4 (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (15 t^{\frac{10}{3}} - 4 (\frac{9}{4} t^{\frac{10}{3}} - \frac{27}{28} t^{\frac{7}{3}})) - \frac{9}{4} t^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{2} t^{\frac{4}{3}} + C$