Analysis Beispiele

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \sin (x y) (x + y x')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ um.

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Schritt 5.2

Addiere $x \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ durch $- y \sin (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ durch $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ als ein Produkt um.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Schreibe $\cos (y)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x y)}$ nach $\csc (x y)$ um.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.6

Multipliziere $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

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Schritt 5.3.3.1.6.1

Kombiniere $\cos (y)$ und $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Kombiniere $\csc (x y)$ und $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Schritt 5.3.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$