Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 5 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sec (t)$ an.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $25 \tan^{2} (t)$ als ${(5 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 \tan (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $5 \tan (t)$ aus $5 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Schritt 3

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Schritt 4

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$5 \tan (t) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$