Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{- 2} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 8.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $- 1$ und $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 8.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $- 1$ und $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- - 1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{- 3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.9

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{2}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.12

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 9})$

Schritt 8.2.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{18})$

Schritt 8.2.3.14

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{18})$

Schritt 8.2.3.15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{18})$

Schritt 8.2.3.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{18} + \frac{1}{18})$

Schritt 8.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} - \frac{- 9 + 1}{18}$

Schritt 8.2.3.17

Addiere $- 9$ und $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{- 8}{18}$

Schritt 8.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2}{3} - \frac{2 (- 4)}{18}$

Schritt 8.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - \frac{- 4}{9}$

Schritt 8.2.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} - - \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.3.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.3.21

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.3.22

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.3.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.23.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.3.23.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 3 + 4}{9}$

Schritt 8.2.3.25

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.25.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 + 4}{9}$

Schritt 8.2.3.25.2

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{10}{9}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{10}{9}$

Dezimalform:

$1.\overline{1}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{9}$

Schritt 10