Analysis Beispiele

$\frac{x}{e^{x}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x + e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Schritt 1.4.3.2.4

Dividiere $e^{- x} (- x + 1)$ durch $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Schritt 1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 1.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 1.4.7

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x e^{- x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 2.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 2.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 2.4.2.3

Subtrahiere $e^{- x}$ von $- e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ um.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$