Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{5 x} - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$ als $e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})$ durch Herausziehen von $6 x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} 6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{6 lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Schritt 4

Schreibe $x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})$ als $\frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{6 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.5.2.1

Dividiere $5 - 0$ durch $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} (5 - 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.2

Subtrahiere $0$ von $5$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.2.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{5 x - 1}{5 x}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x - 1}{5 x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{5 x - 1}{5 x}$ zu dividieren.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{5 x}{5 x - 1}$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x - 1}{5 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{5 x}{5 x - 1}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 1$ und $g (x) = x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [5 x - 1] - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + 0) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.14

Addiere $5$ und $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \cdot 5 - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 \cdot x - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.18

Mutltipliziere $\frac{x}{5 x - 1}$ mit $\frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{(5 x - 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.19.1

Faktorisiere $x$ aus $(5 x - 1) x^{2}$ heraus.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - (5 x - 1)}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20

Vereinfache.

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Schritt 5.3.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.20.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.20.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.20.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x^{1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1 + 1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.4.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.5

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 5.3.20.5.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x + x \cdot - 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.20.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x) + x \cdot - 1$ heraus.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.21

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 5.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 5.3.23

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (5 x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{x (5 x - 1)}$ und $x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (5 x - 1)}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x}{5 x - 1}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x - 1}}$

Schritt 7

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{6 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 8.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - 0}}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 + 0}}$

Schritt 10.2

Addiere $5$ und $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$e^{- 6 (\frac{1}{5})}$

Schritt 11.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{- 6}{5}}$

Schritt 11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{6}{5}}$

Schritt 11.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{6}{5}}}$