Analysis Beispiele

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (2 x)}^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6

Differenziere.

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Schritt 3.2.6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1$

Schritt 3.2.6.6

Mutltipliziere $\ln (\cos (2 x))$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \sec (2 x) \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.7.2.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.2

Multipliziere $- 2 x \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.5

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{2 x}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (2 x) (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \sin (2 x) x}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.7.3.1

Separiere Brüche.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.3.2

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.3.3

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{y'}{y} = - (2 x \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.2.7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = - 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (- 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = (- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (x \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (\frac{x (- 2 \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y' = (\frac{- 2 \cdot x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = (- \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} {\cos (2 x)}^{x} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.3

Kombiniere ${\cos (2 x)}^{x}$ und $\frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (2 x)}^{x}$ und $\cos (2 x)$ .

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus ${\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))$ heraus.

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))}{1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.1.2.4

Dividiere ${\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))$ durch $1$ .

$y' = - ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = - (2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x)) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = - 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $- 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$ um.

$y' = - 2 x {\cos (2 x)}^{x - 1} \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{x} \ln (\cos (2 x))$