Analysis Beispiele

$x \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 19

Mutltipliziere ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 20

Um ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Multipliziere ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$