Analysis Beispiele

$\sqrt{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + \sin^{2} (x)}$ als ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 7.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{2}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x)}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 9.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$