Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Schritt 1.1.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Schritt 1.3.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.3

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$