Analysis Beispiele

$y = {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 2 x^{3} - 4)}^{- 4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = - 2 x^{3} - 4$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} - 4]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} - 4]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x^{3} - 4$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} - 4]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{3} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.2.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (- 6 x^{2} + 0)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $- 6 x^{2}$ und $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} (- 6 x^{2})$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$24 {(- 2 x^{3} - 4)}^{- 5} x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{{(- 2 x^{3} - 4)}^{5}} x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{{(- 2 x^{3} - 4)}^{5}}$ .

$\frac{24}{{(- 2 x^{3} - 4)}^{5}} x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{24}{{(- 2 x^{3} - 4)}^{5}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{{(- 2 x^{3} - 4)}^{5}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3} - 4$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{24 x^{2}}{{(2 (- x^{3}) - 4)}^{5}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{24 x^{2}}{{(2 (- x^{3}) + 2 (- 2))}^{5}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3}) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{24 x^{2}}{{(2 (- x^{3} - 2))}^{5}}$

Schritt 3.3.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (- x^{3} - 2)$ an.

$\frac{24 x^{2}}{2^{5} {(- x^{3} - 2)}^{5}}$

Schritt 3.3.3.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{24 x^{2}}{32 {(- x^{3} - 2)}^{5}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $32$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 (3 x^{2})}{32 {(- x^{3} - 2)}^{5}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $8$ aus $32 {(- x^{3} - 2)}^{5}$ heraus.

$\frac{8 (3 x^{2})}{8 (4 {(- x^{3} - 2)}^{5})}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (3 x^{2})}{8 (4 {(- x^{3} - 2)}^{5})}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{4 {(- x^{3} - 2)}^{5}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 {(- x^{3} - 2)}^{5}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{4 {(- x^{3} - 2)}^{5}}$