Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{3}$ annähert.

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{3}$ annähert.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{π}{3}$ annähert.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{π}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{3}$ für $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{3}$ für $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Schritt 9.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Schritt 9.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Schritt 9.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Schritt 9.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Schritt 9.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Schritt 9.2.5

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Schritt 9.2.6

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Schritt 9.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Schritt 9.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.8.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Schritt 9.2.8.2

Addiere $- 16$ und $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Schritt 9.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Schritt 9.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Schritt 9.6

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Schritt 9.7

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Dezimalform:

$- 0.62983665 \dots$