Analysis Beispiele

$\int_{0}^{t} x \sqrt{x - t} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{x - t}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{t} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = x - t$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - t$ .

$\frac{d}{d x} [x - t]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- t]$

Schritt 4.1.4

Da $- t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - t$ ein.

$u_{lower} = 0 - t$

Schritt 4.3

Subtrahiere $t$ von $0$ .

$u_{lower} = - t$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - t$ ein.

$u_{upper} = t - t$

Schritt 4.5

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - t$

$u_{upper} = 0$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \int_{- t}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ bei $t$ und $0$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ bei $0$ und $- t$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{t (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{t (2 \cdot 0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{t \cdot 0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere $t$ mit $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{3 (0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.9

Subtrahiere $t$ von $0$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$0 - \frac{0 (2 {(- (t))}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.11

Wende die Produktregel auf $- (t)$ an.

$0 - \frac{0 (2 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}}))}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - \frac{0 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13

Mutltipliziere ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ mit $0$ .

$0 - \frac{0 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.14

Mutltipliziere $0$ mit $t^{\frac{3}{2}}$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.3.15.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$0 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.17

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.18

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.22

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.23

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- (t))}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.24

Wende die Produktregel auf $- (t)$ an.

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}}))$

Schritt 6.3.25

Kombiniere ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.26

Kombiniere $t^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{5})$

Schritt 6.3.27

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{5})$

Schritt 6.3.28

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2 \cdot t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 6.3.29

Subtrahiere $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ von $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (- \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 6.3.30

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 6.3.31

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 6.3.32

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$0 + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Schritt 6.3.33

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Schritt 6.3.34

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}$

Schritt 6.3.35

Addiere $0$ und $\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{4 {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ um.

$\frac{4 \sqrt{{(- 1)}^{5}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4 \sqrt{- 1}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{4 i}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{4 i}{15}$ und $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 i t^{\frac{5}{2}}}{15}$