Analysis Beispiele

$x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2} = 10$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \ln (y)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$2 x - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - 3 (\frac{1}{y} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$2 x - 3 \frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{y'}{y}$ .

$2 x + \frac{- 3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y}$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, y, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ mit $y$ .

$2 y y' y + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Bewege $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y'}{y}$ in den Zähler.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0 y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} y' - 3 y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y^{2} y' - 3 y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y^{2} y'$ heraus.

$y' (2 y^{2}) - 3 y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3 = - 2 x y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ durch $2 y^{2} - 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ durch $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2} - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$