Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{5} - 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ und $g (x) = 4 x^{5} - 4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2}] - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 (2 x)) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{5} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.12

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + 0)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $20 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3} - 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) + (- 20 (4 x^{3}) - 20 (- 3 x^{2})) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2} - 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 12 x^{5} x^{2} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 12 (x^{2} x^{5}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot 12 x^{2 + 5} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{4 \cdot 12 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{5} x - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x \cdot x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x^{1} x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{1 + 5} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5.3

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.7

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 (x^{4} x^{3})) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{4 + 3}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{7}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.5.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 (x^{4} x^{2}))}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{4 + 2})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{6})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $80 x^{7}$ von $48 x^{7}$ .

$\frac{- 32 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 24 x^{6}$ und $60 x^{6}$ .

$\frac{- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $4 x$ aus $- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 32 x^{7}$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x^{6}$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5})$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x)$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5} - 4$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) + 4 (- 1))}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{5}) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5} - 1))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Wende die Produktregel auf $4 (x^{5} - 1)$ an.

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4^{2} {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)$ heraus.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16 {(x^{5} - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{6}$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6}) + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x^{5}$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5})$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x)$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.14

Schreibe $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ als $- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ um.

$\frac{x (- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$