Analysis Beispiele

$\int x \ln^{2} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = x$ .

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln^{2} (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ als $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 \ln (x))$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $x (2 \ln (x))$ durch $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 9.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 9.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Schritt 12.2

Schreibe $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ als $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Um $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 12.4

Vereinfache.

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Schritt 12.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 12.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Schritt 12.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Schritt 12.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Schritt 12.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Schritt 12.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.4.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.4.2

Multipliziere $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 12.4.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.5

Um $- \ln (x) x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.6

Kombiniere $- \ln (x) x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.8.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ heraus.

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Schritt 12.4.8.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.8.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (x)$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.12

Schreibe $- (2 \ln (x) - 1)$ als $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ um.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 12.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$