Analysis Beispiele

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (1 t))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (t)$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{t}$ und $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5.2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5.2.3.2

Dividiere $2 \ln (t)$ durch $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.4.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (t)$ mit $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Schritt 4.5.4.2

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$