Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x^{3}$ und $g (y) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Addiere $x'$ und $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2}) x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.9.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.9.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.9.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} x' - 3 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.4.2

Subtrahiere $x^{3} x'$ von $3 x^{3} x'$ .

$\frac{2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.5

Faktorisiere $x^{2} x'$ aus $2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'$ heraus.

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Schritt 3.9.5.1

Faktorisiere $x^{2} x'$ aus $2 x^{3} x'$ heraus.

$\frac{x^{2} x' (2 x) - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.5.2

Faktorisiere $x^{2} x'$ aus $- 3 x^{2} x'$ heraus.

$\frac{x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.5.3

Faktorisiere $x^{2} x'$ aus $x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9.6

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ um.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$ um.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} (2 x - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Stelle um.

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Schritt 5.3.1.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 x^{3} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} x' - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Stelle um.

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Schritt 5.3.1.1.3.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3.2.2

Bewege $x^{2}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.4.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.4.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.4.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.4.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 5.4.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x' x^{2}$ aus $2 x' x^{3} - 3 x' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x' x^{2}$ aus $2 x' x^{3}$ heraus.

$x' x^{2} (2 x) - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $x' x^{2}$ aus $- 3 x' x^{2}$ heraus.

$x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3 = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $x' x^{2}$ aus $x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ durch $x^{2} (2 x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ durch $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 x - 3)$ heraus.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Um $\frac{1}{2 x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 3) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x - 3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x}{(2 x - 3) x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 x - 3) x$ um.

$x' = \frac{x}{x (2 x - 3)} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.5

Um $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 3) x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x (2 x - 3) x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x^{1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1 + 1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{(x - 2) x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{x \cdot x - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.8.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.4.3.3.8.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.8.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.4.3.3.8.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$x' = \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.3.8.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$x' = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$