Analysis Beispiele

$lim_{w \to 1} (1 + \sqrt[3]{w}) (2 - w^{2} + 3 w^{3})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $1$ annähert.

$lim_{w \to 1} 1 + \sqrt[3]{w} \cdot lim_{w \to 1} 2 - w^{2} + 3 w^{3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $1$ annähert.

$(lim_{w \to 1} 1 + lim_{w \to 1} \sqrt[3]{w}) \cdot lim_{w \to 1} 2 - w^{2} + 3 w^{3}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $w$ sich $1$ annähert.

$(1 + lim_{w \to 1} \sqrt[3]{w}) \cdot lim_{w \to 1} 2 - w^{2} + 3 w^{3}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot lim_{w \to 1} 2 - w^{2} + 3 w^{3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $1$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot (lim_{w \to 1} 2 - lim_{w \to 1} w^{2} + lim_{w \to 1} 3 w^{3})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $w$ sich $1$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot (2 - lim_{w \to 1} w^{2} + lim_{w \to 1} 3 w^{3})$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $w^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot (2 - {(lim_{w \to 1} w)}^{2} + lim_{w \to 1} 3 w^{3})$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $w$ ist.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot (2 - {(lim_{w \to 1} w)}^{2} + 3 lim_{w \to 1} w^{3})$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $3$ von $w^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{w \to 1} w}) \cdot (2 - {(lim_{w \to 1} w)}^{2} + 3 {(lim_{w \to 1} w)}^{3})$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $w$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $1$ für $w$ .

$(1 + \sqrt[3]{1}) \cdot (2 - {(lim_{w \to 1} w)}^{2} + 3 {(lim_{w \to 1} w)}^{3})$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $1$ für $w$ .

$(1 + \sqrt[3]{1}) \cdot (2 - 1^{2} + 3 {(lim_{w \to 1} w)}^{3})$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $1$ für $w$ .

$(1 + \sqrt[3]{1}) \cdot (2 - 1^{2} + 3 \cdot 1^{3})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$(1 + 1) \cdot (2 - 1^{2} + 3 \cdot 1^{3})$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cdot (2 - 1^{2} + 3 \cdot 1^{3})$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot (2 - 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{3})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot (2 - 1 + 3 \cdot 1^{3})$

Schritt 11.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot (2 - 1 + 3 \cdot 1)$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \cdot (2 - 1 + 3)$

Schritt 11.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 \cdot (1 + 3)$

Schritt 11.5

Addiere $1$ und $3$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$