Analysis Beispiele

$\int (\frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} + 2 \ln (| x |) + C$