Analysis Beispiele

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ und $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int - u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 4

Schreibe $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$