Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Schritt 3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ mit $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 2$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 11.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 11.3.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.4.1

Bringe $e^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 12.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.28594947 \dots$

Schritt 14