Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ nach $\sec^{2} (θ)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (θ)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (θ)$ gleich $\sec^{2} (θ)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (θ)$ gleich $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ und $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\tan (θ) + θ$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Schritt 6.2.2

Addiere $\tan (0)$ und $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Schritt 6.3.4

Addiere $1 + \frac{π}{4}$ und $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 + \frac{π}{4}$

Dezimalform:

$1.78539816 \dots$