Analysis Beispiele

$\sqrt{x \sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Schritt 2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}$ als $x^{\frac{\frac{3}{2}}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{\frac{3}{2}}{2}}]$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2 \cdot 2}}]$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$